Der Artikel in alter deutscher Rechtschreibung 1989/1990

STUDIENTEXTE ZUR SPRACHKOMMUNIKATION

Heft 7

Herausgegeben von der Technischen Universität Dresden

Sektion Informationstechnik – Bereich Akustik und Meßtechnik

April 1990

Formale Musiktheorie und Kompositionscomputer

R. NOWOTNY, Berlin

Vortrag zur 10. Klausurtagung „Sprachkommunikation“, Quedlinburg 1989

Das Problem, Maschinen zu entwickeln, die menschliche Denkleistungen übernehmen, galt seit Jahrhunderten als Herausforderung an Schöpfertum und Erfinderkraft. Die Maschinenpioniere auf diesem Gebiet waren sicher die Rechenmaschinen, bis in diesem Jahrhundert eine Revolution ausbrach. Die künstliche Intelligenz ist zum Gesprächsthema Nummer eins geworden.

Auch für die Konstruktion einer musikkomponierenden Maschine gibt es Ansätze. Entgegen bisherigen, wird hier die Methode angegangen, der empirisch zusammengestellten, „klassischen“ Lehre von Tonsatz und Komposition ein logisch geschlossenes Arbeitsmittel zu schaffen, welches erstens der inneren Struktur der (musikalischen) Grundgebilde gerecht wird und zweitens den Erfahrungsschatz einer ausgereiften musikalischen Ästhetik zur Verfügung stellen könnte.

Zur formalen Modellierung der Kontrapunktik und Harmonik dient eine mathematische Theorie, mit der erst ein „sinnvolles“ Übertragen der Technik des kompositorischen Schaffens bzw. des analytischen Verständnisses von musikalischen Meisterleistungen auf künstliche Intelligenz möglich ist. Die Theorie geht von einer diskreten Menge M aus. Desweiteren sei ein 𝄽 ∈ M gegeben.

Die folgenden Theoreme 1–4 sind fundamentale Aussagen einer 1988 vorgestellten Arbeit „Die Geometrie einer diskreten Menge – Die Theorie der Musik“. Es schließt sich ein Hauptsatz der Kontrapunktik und Harmonik an, dessen Formulierung zwei Teile umfaßt, die hier beweislos angegeben werden.

ℝ bezeichne den geordneten Körper der reellen Zahlen und „×“ das kartesische Produkt.

Definition 1:
Eine Abbildung f : I → M^* (M^* := M ∪ {𝄽}) heißt Melodie, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

(i) Das Urbild von f besitzt ein Minimum.

(ii) Für jedes x ∈ I ⊂ ℝ gibt es ein ε > 0, so daß f(x) = f(x+ε).

Theorem 1:
Es gibt eine surjektive Abbildung der Menge $⋃_{l \geq 1}^{}_{} ℝ^{l + 1} \times M^{* l}$ auf die Menge aller Melodien.

Definition 2:
Ein n-Tupel t ∈ Mⁿ heißt Tonart der Länge n. Eine Melodie f heißt in einer Tonart t = (c₁, ... , c_n) mit c_i ∈ M (i = 1, ... n) geschrieben, wenn das Bild von f Teilmenge von {c₁, ... , c_n, 𝄽} ist.

Theorem 2:
Sei Z_n+1 eine zyklische Gruppe der Ordnung n+1, so gibt es eine surjektive Abbildung der Menge $⋃_{l \geq 1}^{}_{} ℝ^{l + 1} \times Z_{n + 1}^{l}$ auf die Menge aller in einer Tonarten der Länge n geschriebenen Melodien.

(Acc, ⨁) sei die freie Halbgruppe mit dem Erzeugendensystem M^*.
Die Elemente a ∈ Acc heißen Akkorde. Danach hat jeder Akkord die Form $a = ⨁_{i = 1}^{n} c_{i}$

mit den Summanden c_i ∈ M^* (i=1,...,n).
Accⁿ bezeichne die Untermenge der Akkorde mit genau n Summanden.
Weiterhin sei "⊗" ein direktes Produkt über der Menge aller Melodien gleichen Urbildes. Ein direktes Produkt

\otimes_{i = 1}^{n} f_{i}

von n Melodien auf einem gemeinsamen Intervall I heißt n-stimmige Polyphonie.

Theorem 3:
Die Menge aller n-stimmigen Polyphonien über I ist isomorph zur Menge der Abbildungen g : I → Accⁿ, die den Bedingungen aus Def. 1 genügen. Danach hat I ein Minimum, und für jedes x ∈ I gibt es ein ε > 0, so daß g(x) = g(x + ε).

Eine Abbildung g : I → Accⁿ heißt die zu $\otimes_{i = 1}^{n} f_{i}$ kanonische Abbildung, wenn $g (x) = ⨁_{i = 1}^{n} c_{i}$ und f_i(x) = c_i (i =1,...,n).

Theorem 4:
Sei A ⊆ Accⁿ, so gibt es eine surjektive Abbildung von $⋃_{l \geq 1}^{}_{} ℝ^{l + 1} \times A^{l}$ auf die Menge aller n-stimmigen Polyphonien, deren kanonische Abbildung nur Bilder haben, die Teilmenge von A sind.

Definition 3:
Eine Akkordmenge K heißt Kadenz einer Tonart t = (c₁ ,..., c_n), wenn die Menge der Summanden der Akkorde von K identisch {c₁ ,..., c_n} oder identisch {c₁ ,..., c_n, 𝄽} ist.

Sei ∑ eine Struktur in Acc. Erzeuge B ⊆ A nun die Unteralgebra (A, ∑) von (Acc, ∑).
B erzeugt A summandentreu, wenn die Akkorde von A höchstens die Summanden enthalten, die auch Summanden wenigstens eines Akkordes von B sind.

Hauptsatz der Kontrapunktik und Harmonik

Satz A:
Seien f₁, ..., f_n Melodien mit gemeinsamen Urbild. Sei A ⊆ Acc das bild der kanonischen Abbildung der n-stimmigen Polyphonie $\otimes_{i = 1}^{n} f_{i},$ und erzeuge K ⊆ Acc nun A summandtreu, so sind die Melodien f₁, ..., f_n in einer Tonart geschrieben, deren Kadenz gerade K ist.

Satz B:
Sei M_I,t die Menge aller in einer Tonart t geschriebenen Melodien über einem Intervall I, so wird für jede Kadenz K von t die Vereinigung der Bilder aller Polyphonien $\otimes_{i = 1}^{n} (f_{i} \in M_{I,t})$ summandentreu von K ∪ {𝄽} erzeugt.

Mit diesem Fundament ist nun ein Gerüst exakter Definitionen musikalischer Grundgebilde und kompositorischer Hilfsmittel zu beschreiben. Unter maßgeblicher Arbeit von Herrn A. Kortke wurde ein informatorisches Modell dieser Theorie und demnach eine Umsetzung formaler Musiktheorie auf einem Computer entwickelt.

Für die codierte Ein- bzw. Ausgabe der Melodie ist den Bedingungen aus Definition 1 in ihrer Realisierung gemäß Theorem 1 eine weitere, die Einschränkung auf rationale Notenwerte, hinzugefügt. Benutzt wird die gleichmäßig temperierte Tonmenge, so daß die enharmonische Verwechslung unberücksichtigt bleibt. Die Behandlung der Oktaven geschah außerhalb der mathematischen Konzeption. Die Funktionsbibliothek beinhaltet bis dato drei Hauptprogramme.

Bild 1

Die Ergebnisleistung der einzelnen Hauptprogramme liegt in der Konstruktion einer Klasse von Melodien, die jeweils eine Verarbeitung einer musikalischen Ausgangssituation nach „klassischem“ Vorbild beinhaltet.

Bild 2

Die Begriffe Motiv, Figuration, Fortschreitung usw., die auf der Grundlage der Theoreme 1 – 4 eine exakte Definition erhielten, sind die fundamentalen Gebilde, die von den einzelnen Unterfunktionen benutzt werden. Der Zufall ist dem formalisierten musiktheoretischen System untergeordnet.

Das Werk, als musikwissenschaftliche Kategorie, ist nun eine „strenge Kreation“ aus den gebildeten Teilergebnissen (Melodie_2).

Weitere Vorträge auf internationalen Fachtagungen:

1988: Nahmitz: Geometrie einer diskreten Menge; Tagung der Gruppe Algebra der Akademie der Wissenschaften der DDR

1989: Potsdam: Mathematik und Musiktheorie; Tagung der Gruppe Algebra der Akademie der Wissenschaften der DDR